La caputxeta matemàtica

Dedicat a les matemàtiques, les dones matemàtiques

EL BÉ CONTRA EL MAL. Un argument clàssic protagonitzat per uns personatges ben definits. Ella, una dolça nena, càndida i ingènua, representa el bé. Ell, un ser monstruós, menyspreable i atroç, representa el mal. I la justícia? Qui representa la llei i l'ordre? L'heroi oportú és el caçador valent que venç el dimoni i salva l'angelical i indefensa criatura. Una trama culminada, com no podia ser d'una altra manera, amb un final grandiós on els valors de la bondat dobleguen per enèsima vegada la vilesa. Tot molt bonic! Llevat que ... les coses no van anar així.

En escriure el conte de la Caputxeta Vermella, Perrault, primer, i els germans Grimm, més tard, es van limitar a transcriure, negre sobre blanc, una vella llegenda europea. Però la transcripció no va ser imparcial, sinó que es va deixar influir pels valors socials de la seva època, el segle XVIII. Valors segons els quals la dona no era res sense l'home, i de la dona només s'esperava que fos maca, submisa i complaent. A la versió de Perrault, la ingenuïtat de la noia mereix la pena capital sense atenuants. Els germans Grimm es van mostrar més magnànims i li van concedir l'indult in extremis, després de deixar que el llop la devorés. La salvació va arribar,  és clar, de l'escopeta d'un homenot. D'altra banda, Perrault i els germans Grimm eren d'aquest tipus d'intel·lectuals rancis que no saben apreciar el poder de les matemàtiques. El seu error va ser no adonar-se que, quan cal decidir entre un camí curt i un de llarg, tot es redueix a una mera comparació numèrica i, per tant, a una decisió purament matemàtica. Deixeu-me que us expliqui d'una vegada per totes què va passar en realitat.

Efectivament, la protagonista de la història va ser una jove, tan maca com es vulgui pensar. Tot i així, allò que realment definia aquella doneta no era la seva bellesa o la seva figura o si la seva capa era vermella o més aviat d'un suau rosa fúcsia com dictava la moda parisenca de l'època. El que impactava d'ella eren els seus ulls, en els quals la intel·ligència matemàtica brillava amb intensitat. D'altra banda, tenim el llop ferotge, més milhomes que valent, més bocamoll que intel·ligent. I si esteu pensant en qui podria ser el suposat salvador de la protagonista, qui era el caçador, oblideu-vos d'ell perquè la nostra jove se'n sortia prou bé tota sola. Ella no necessitava ningú que li tragués les castanyes del foc. Tant és així que l'afamat llop, que si per ell fos se l'hauria cruspit de viu en viu allà mateix, mai hauria gosat atacar-la obertament, en un enfrontament cara a cara.

L'anècdota que explica la llegenda va succeir mentre la jove es trobava en un racó del bosc on s'alça un preciós i enorme auró. Diguem que aquest era el punt A. Des d'aquell punt A, la jove es disposava a anar de visita fins a la bucòlica caseta de la seva àvia. Diguem que la seva destinació era el punt C. Des del punt A fins al punt C es podia anar en línia recta, o bé voltar per un punt intermedi a la vora d'un enorme bedoll centenari. Aquest punt intermedi l'anomenarem el punt B. En el trajecte alternatiu, des d'A fins a B s'anava en línia recta fent 100 passes exactes, i en arribar a B es girava 90 graus a l'esquerra per arribar fins a C, ara seguint una nova línia recta de 200 passes.

-Jo només t'he preguntat on vas. Em fa mal la closca amb tants punts i tantes passes! -es queixava el llop en resposta a les explicacions de la jove, i deixant ben clares les seves limitacions intel·lectuals. Per facilitar-li les coses, la jove va dibuixar al terra del bosc la situació que li acabava d'exposar.

En realitat, el llop només estava interessat a saber quin camí li podia permetre arribar abans a la casa de l'àvia. En veure el dibuix, el llop va poder entendre que el camí més curt era el primer, el trajecte que anava directament des de l'auró fins a la casa. Si fos ell qui agafés aquest camí més curt, arribaria a la casa abans que la jove. Aquest avantatge li permetria amagar-se i atacar-la per sorpresa, agafant-la desprevinguda. Però, i si algú s'assabentés que tot un mascle forçut com ell havia tramat una estratègia tan vil i covarda per assaltar la jove? Ni parlar-ne!, ja s'encarregaria ell després d'adornar la història, d'obviar un parell de detalls menors, de deixar clar l'astut i intrèpid que havia estat una vegada més.

Per a la seva sorpresa, la jove va acceptar sense dir ni piu anar pel camí llarg, el camí que passava pel bedoll. "Mira que es creu espavilada, i jo li prenc el pèl com si res" -pensava el llop, més cregut que mai. L'única condició que va posar la jove al llop li va semblar una nimietat: els dos s'havien de comprometre a avançar fent passes senceres o bé passes que fossin la meitat de la passa feta prèviament, sense poder passar-se de llarg i anar més enllà de C.

-Quina ximpleria. Sí, sí, és clar que accepto! No t'endrapis tot el pastís de la teva àvia abans que arribi jo -li va dir el llop amb una sorna i un sarcasme mal dissimulats, mentre es precipitava pel seu camí més curt, avançant passada a passada segons l'estipulat.

La jove va iniciar el seu trajecte tranquil·lament, fent cent passes exactes que li van permetre anar des d'A fins a B sense dificultats. Una vegada va estar al costat del bedoll, va girar noranta graus i, fent dues-cents passes exactes, va arribar sense dificultats al punt C, la bucòlica casa de la seva àvia. Com ja sabia per endavant, per allà no hi havia ni rastre del llop.

Però on era aquest llop beneit? -us preguntareu. Que no anava pel camí curt? El camí era efectivament el més curt, però la condició de la jove era molt clara: només podia fer passes senceres o bé passes que fossin la meitat de la passa feta prèviament. Les primeres 223 passes no van suposar cap problema per al llop, que les va fer exultant i encantat de veure la rapidesa amb què s'allunyava del punt A acostant-se a tota pastilla cap al punt C. Però va ser just en anar a fer la passa 224 que van començar els problemes per al llop: es va adonar que si feia aquella passa sencera es passaria de llarg, deixaria enrere el punt C, se sortiria del segment AC. Si hagués fet aquesta passa de més i s'hagués passat de llarg del punt C, hauria caigut al buit sideral i s'hauria perdut per sempre. I és que això de l'univers de les matemàtiques és una cosa molt seriosa, fins i tot perillosa, que no s'ha de prendre a la lleugera. Això ho sap fins i tot un llop ximplet com ell!

"Afortunadament" -pensà el llop- "puc fer mitja passa." Aquesta mitja passa li va permetre avançar una distància de 0,5, situant-se ara a 223,5 passes del punt A. Però encara no havia arribat al punt C! El següent avanç tornava a ser complicat. Si hagués fet una nova mitja passa, s'hauria passat del punt C, així que va provar a fer una passa que fos la meitat de la mitja passa anterior: un quart de passa o, el que és el mateix, una passeta de 0,25. Però ni així! Es tornava a passar de llarg. El llop va seguir provant a dividir passes fins a trobar la següent mini passeta que va poder arribar a fer sense passar-se de C. Va ser una mini passeta de 0,0625 de llarg, situant-se a una distància des del punt A de 223,5625 passes. Tot i que havia tornat a avançar, encara no havia arribat al punt C. I allà és precisament on estava el llop, calculant i tornant a calcular la mida de la següent mini passeta que podria arribar a fer sense passar-se de C. Cada passeta l'allunyaria una mica més d'A, però no prou com per arribar a C sense passar-se de llarg. I si em pregunteu, us diré que encara està allà, calculant i tornant a calcular, perdent la raó, tornant-se una mica més irracional amb cada progrés infinitament petit que aconsegueix fer. Tan irracional com irracional és la distància √50.000 que ell provava inútilment de recórrer utilitzant intervals regulars.

Deixeu que Perrault i els germans Grimm es discuteixin sobre quin era el final que mereixia la noia. Vosaltres ara ja sabeu com va anar tot en realitat, i que va ser ella, lliure i independent, qui va decidir el seu futur. I ara que ja tenim el llop derrotat i la jove matemàtica berenant tranquil·lament a casa de la seva dolça àvia, podem proclamar que conte contat, conte on ella ha guanyat!

Aquesta versió de la llegenda, la qual explica el que realment va passar, també té la seva corresponent lliçó: no segueixis l'exemple del llop poca-solta que va acceptar un tracte matemàtic sense saber matemàtiques. Millor fixa't en l'exemple de la jove, una xicota eixerida que coneixia EL PODER DE LES MATEMÀTIQUES.

Apunt matemàtic

Pitàgores va fundar fa uns 2.500 anys una societat matemàtica coneguda com l'Escola Pitagòrica. Guiats per la seva intuïció, els pitagòrics van assumir que si es prenien dos nombres, per exemple els nombres 5 i √5, era possible trobar un interval que servís per dividir de forma exacta els dos nombres. El descobriment que aquesta intuïció no era sempre certa va ser l'origen dels nombres irracionals. Així, √5 va ser reconegut com un nombre irracional. Els nombres irracionals van qüestionar tot el saber matemàtic de l'època, i van provocar una crisi existencial entre els pitagòrics. Encara que ell no ho sap, el llop del nostre conte està buscant precisament aquest interval impossible de trobar, i per això podem afirmar que s'estarà tota l'eternitat ocupat en la tasca que li ha proposat la jove.

Superada l'angúnia inicial, els pitagòrics van saber extreure una conclusió important: un matemàtic no es pot refiar de les seves intuïcions; només pot afirmar com a cert allò que ha estat irrefutablement demostrat. Aquesta actitud i el concepte de la demostració matemàtica són els dos llegats essencials dels pitagòrics. Un llegat vigent en les matemàtiques actuals.

L'Escola Pitagòrica  admetia per igual homes i dones. Els seus membres vivien en comunitat i juraven vots pels quals es comprometien a mantenir en secret totes les seves troballes matemàtiques. Durant els segles venidors, atès que no se sabia del cert qui havia descobert què, tots els resultats que van sorgir de l'escola van ser atribuïts al seu fundador, Pitàgores. Va ser una escola tan prestigiosa que se'ls va atribuir el descobriment de més resultats matemàtics dels que realment van aconseguir. Per exemple, avui dia se sap que els babilònics ja utilitzaven una relació numèrica per traçar perpendiculars equiparable al famós teorema de Pitàgores 1.500 anys abans que Pitàgores naixés. El que sí van aportar els pitagòrics va ser la primera demostració formal del teorema, encara que el més probable és que no fos Pitàgores qui la va proposar, sinó més aviat algun membre de l'escola. De fet, hi ha un 50% de probabilitats que fos una de les dones matemàtiques qui la va proposar.

Urbano Lorenzo Seva, Reus 2019